Notación de Voigt (notación de Voigt) y notación de Mandel (notación de Mandel)

Voigt Notation

1. ¿Qué es un tensor?

Definición: Un conjunto de números ordenados que satisfacen una determinada relación de conversión de coordenadas se denomina tensor.

Es demasiado abstracto, no entiendo, no importa, aquí no implica un conocimiento tensorial complejo, solo entiende. Solo necesito conocer los siguientes puntos.



Tensor de orden cero (escalar): como densidad, temperatura, presión, etc.



Tensor de primer orden (vector): como velocidad, desplazamiento, aceleración, etc.



Tensor de segundo orden: como tensión y deformación

Tensor de cuarto orden: rigidez elástica, etc.

El cálculo de tensores es más complicado. Para simplificar el cálculo de tensores, es necesario matricular los tensores. La notación de Voigt y la notación de Mandel son dos métodos de matriz tensorial, que se utilizan principalmente en la mecánica del continuo.



2. Notación de Voigt

Ley de Hooke generalizada

Notación tensorial:  large  sigma _ {ij} =  begin {bmatrix}  sigma _ {11} &  sigma _ {12} &  sigma _ {13} \  sigma _ {21} &  sigma _ {22} &  sigma _ {23} \  sigma _ {31} &  sigma _ {32} &  sigma _ {33}  end {bmatrix}  overset {Voigt} { rightarrow}  begin {Bmatrix}  sigma  end {Bmatrix} =  begin {bmatrix}  sigma _ {11} \  sigma _ {22} \  sigma _ {33} \  sigma _ {23} \  sigma _ {31} \  sigma _ {12}  end {bmatrix} large  sigma _ {ij} =  begin {bmatrix}  sigma _ {11} &  sigma _ {12} &  sigma _ {13} \  sigma _ {21} &  sigma _ {22} &  sigma _ {23} \  sigma _ {31} &  sigma _ {32} &  sigma _ {33}  end {bmatrix}  overset {Mandel} { rightarrow}  begin {Bmatrix}  sigma  end {Bmatrix} =  begin {bmatrix}  sigma _ {11} \  sigma _ {22} \  sigma _ {33} \  sqrt {2}  sigma _ {23} \  sqrt { 2}  sigma _ {31} \  sqrt {2}  sigma _ {12}  end {bmatrix}Estos son el tensor de tensión, el tensor de rigidez elástica y el tensor de deformación.

Notación de índice:

La matriz de Voigt del tensor tensión-deformación se expresa como:

Las reglas correspondientes para la conversión de índices de tensor a matriz son las siguientes

Entonces, la expresión matricial de la ley de Hooke generalizada es la siguiente:

El componente del tensor de rigidez elástica utilizando la notación de Voigt se expresa además como:

3. Notación de Mandel

La matriz de Mandel tensión-deformación se expresa como

Entonces, la expresión matricial de la ley de Hooke generalizada es la siguiente:

La representación de Mandel del tensor de rigidez elástica es la siguiente:

referencias:

Notas sobre Mecánica Continua de Eduardo W. V. Chaves

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Voigt_notation#Mandel_notation